Здравствуйте! Склоняется ли мужская фамилия Абабий? Если да, то по какому варианту?

Здравствуйте! Мужская фамилия будет склоняться, т. к. относится к группе фамилий, оканчивающихся на согласный, -ь, -й. В этой группе мужские фамилии изменяются как существительные мужского рода второго склонения, а женские – не склоняются.
Подробная информация о склонении фамилий представлена на нашем портале в разделе "Сервисы": https://www.oshibok-net.ru/for-all/sklonenie-famili/